九宫格是一经典的填数游戏,俗称幻方,看似简单的数字加法运算,小学生确能完成,但也有一些规则还是让人烧脑的。现就对这一游戏的填数方法作一点探讨。
经典的九宫格游戏:将1、2、3、4、5、6、7、8、9填入九宫格如图1,使行、列及对角线数之和(称幻和)相等。也就是行之和、列之和、对角线之和所得八个数相等,规则就是这么简单,但随便填数肯定是不满足规则的。上述九个数有奇数,有偶数,如按图2规则填数,顶行和底行之和为偶数,而中行为奇数,第一列和等三列为偶数,中列为奇数,两对角线都为奇数,奇数和偶数不可能相等,显然按此规则填数是行不通的。若按图3规则填数,每行、每列和对角线都是奇数,这才有可能成功。根据图3,顶行与底行交换,第一列与第三列交换,以对角线作镜像交换,还有以中心数为圆心,顺时逆时针旋转90度,180度,270度,360度依然符合规则。
现分析上述九个数之和为45,平均分三行则每行和为15(即幻和为15),一行内三数平均则为5,这就是中心数。又因为九个数中,有奇数1、3、5、7、9,有偶数2、4、6、8,正符合图3规则填数,这就很简单了,结果如图9,这就是经典的九宫图。顶行与底行交换如图10,顺时针旋转90度如图11,以右对角线作镜像交换如图I2,显然都是符合规则的。根据图1和游戏规则可以有如下结论:
一、对角线三数一定是等差数列,一对角线为增,另一对角线为减,行、列及对角线上的数一般符合Z或N字型排列,仅角或边数对调,如图9中8和2对调就是Z字型排列,如图10中1和7对调就是N字型排列。
二、a+c=e+h,b+c=e+i=d+g,e=(a+i)/2=(c+g)/2,a=(h+f)/2,e=a+c-h等。
三、幻和是中心数的3倍,求出中心数,填数才有方向。
根据奇数+偶数=奇数,奇数+奇数=偶数,偶数+偶数=偶数原则,九宫图填数规则还有如图4、图5、图6、图7、图8。也就是说,同是中心数5,就有图9、图13两种图解,在整数范围,还有图19图解。中心数6,按规则图6、规则图7在自然数集内有解如图15、图16,按规则图8则在整数集内才有解如图20。在自然数集内,最小有解数就是5,如果按照规则图5,最小有解数是9。规则图4、规则图5、规则图6、规则图7、规则图8对应的例图解为图13、图14、图15、图16、图17,中心数1只有在整数集内有解如图18。
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